Mathematiker nutzen Zufälligkeit, um eine 55 Jahre alte Vermutung zu beweisen.

Eine Gruppe junger Mathematiker hat ein 55 Jahre altes Rätsel gelöst, indem sie Zufälligkeit wie ein Werkzeug und nicht wie eine Belastung behandelten. Der Beweis, der sich über vier Arbeiten erstreckt, schloss eine Frage, die Ronald Graham 1971 zuerst aufwarf. Die letzte Arbeit von Lisa Sauermann von der Universität Bonn und Huy Tuan Pham von der Universität Chicago erschien im Februar 2026.

Grahams Frage

Graham war nicht nur Mathematiker, sondern auch Jongleur und verheiratet mit Fan Chung, einer Mathematikerin an der University of California, San Diego. Er habe Tricks geliebt, sagte sie, darunter das Wirbeln eines Balls, das Drehen eines Kleiderbügels und das Werfen von Stiften an die Wand.

Im Jahr 1971 stellte Graham eine Frage zu Zahlen an, die in einem kreisförmigen Muster angeordnet sind, wie Stunden auf einer Uhr. Beginnen Sie mit einer Menge unterschiedlicher ganzer Zahlen, von denen keine Null ist, und ordnen Sie sie so an, dass die Summe der ersten beiden Zahlen, dann der ersten drei, dann der ersten vier und so weiter immer eine andere Gesamtsumme ergibt. Wenn die Zahlen alle positiv sind, ist die Antwort offensichtlich: die Summen werden immer größer. Wenn die Zahlen sowohl positive als auch negative Werte enthalten, ist die Antwort ebenfalls bekannt. Aber was ist, wenn die Zahlen nach einer festen Anzahl wiederholen, wie Stunden auf einer Uhr?

Graham vermutete, dass die Antwort immer noch Ja sein sollte. Er dachte, dass man selbst bei strengen Grenzen in der Regel genügend Platz finden könne, um eine besondere Anordnung zu finden – ähnlich wie man ein funktionierendes Sudoku-Feld oder eine lateinische Quadrat trotz ihrer Regeln finden kann. „Es passt gut in all diese Fragen über Designs und über sehr symmetrische Strukturen“, sagte Noga Alon, ein Mathematiker an der Princeton University. Über Jahrzehnte hinweg konnte niemand ihn richtig beweisen.

Müyessers Heuhaufen

Alp Müyesser, ein Mathematiker an der Universität Oxford, sucht nach Problemen, die zwei Dinge benötigen: einen Zufallsprozess und etwas Zusätzliches. Im Jahr 2022 löste er als noch Graduierter ein solches Problem. Dann fand er Grahams Vermutung und erkannte, dass sein gerade abgeschlossener Beweis auch dort helfen könnte.

Die Vermutung funktioniert in der Welt der Uhrrechnung. Ordnen Sie die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden an, und wickeln Sie diese dann um eine Uhr scheibe, sodass die Zahlen nach einer Primzahl p wiederholt werden. Wenn p beispielsweise 7 ist, dann sind 0, 7, 14 und alle anderen Vielfachen von 7 dasselbe. Graham fragte, ob man eine beliebige Menge von ungleich Null unterschiedlichen Zahlen für jede p immer so neu anordnen kann, dass die laufenden Summen alle unterschiedlich sind.

Müyesser, zusammen mit seinem ehemaligen Betreuer, Alexey Pokrovskiy von University College London, nahm den Fall an, bei dem die Menge fast jede mögliche Zahl bis p enthält. Bei Mengen dieser Größe ist es äußerst schwierig, eine gültige Ordnung aufzubauen. Aber mit einer zufälligen Ordnung kommt man schon einen großen Teil des Weges.

„Informatiker nennen dies oft ein ‚Finden der Nadel im Heuhaufen‘-Problem“, sagte Müyesser.

Sie wissen vielleicht, dass viele gute Ordnungen existieren, aber das tatsächliche Auffinden einer solchen ist schwierig. Eine zufällige Ordnung funktioniert wahrscheinlich, aber es ist schwer zu beschreiben, wie die Lösung aussehen sollte.

Müyesser und Pokrovskiy mussten sicherstellen, dass keine Zahlenfolge irgendwo in der Ordnung auf Null addiert. Andernfalls würde das Hinzufügen dieser Zahlen zur früheren Summe sie wiederholen. Eine völlig zufällige Ordnung könnte einige dieser störenden Folgen haben. Sie legten daher einige speziell ausgewählte Zahlen beiseite, mischten den Rest zufällig und suchten das Ergebnis nach Problemen ab. Wenn sie ein Intervall fanden, das auf Null addierte, fügten sie eine der Ersatzzahlen ein, um dies zu beheben. Im Jahr 2022 veröffentlichten sie ihre Lösung, obwohl diese in einem Artikel zu einem allgemeineren Problem eingebettet war.

Kravitz’ Stolperstein

Noah Kravitz von Oxford fand Grahams Vermutung ein paar Jahre später in einem Online-Archiv ungelöster Probleme. Er sah eine offene Frage und schämte sich, dass die Menschheit die Antwort nicht kannte.

„Ich sah, dass es ein offenes Problem gab, und ich dachte: Es ist peinlich für die Menschheit, dass wir das nicht wissen“, sagte Kravitz.

Kravitz war sich Müyessers und Pokrovskijs Lösung nicht bewusst. Er arbeitete unabhängig.

Vier Artikel, Eine Antwort

Der Beweis erstreckt sich über vier Artikel und stützt sich auf mehrere Bereiche der Mathematik. Der endgültige Artikel von Sauermann und Pham schloss das Problem offiziell ab.

Wie Alon es formulierte, sei es „die Kraft der Zusammenarbeit, die Kraft der jungen Generation, die Kraft probabilistischer Methoden“, die das Problem gelöst habe.

Was der Beweis zeigt

Der Beweis zeigt, dass Zufälligkeit eine produktive Strategie sein kann, nicht nur ein Weg, um zu raten. Müyesser und Pokrovskiy begannen mit einer zufälligen Ordnung und nutzten eine kleine Menge sorgfältig ausgewählter Zahlen, um diese zu bereinigen. Kravitz näherte sich demselben Problem aus einem neuen Blickwinkel.

Die Lösung bestätigt zudem Grahams ursprüngliche Vermutung über die Existenz flexibler Anordnungen innerhalb starrer Einschränkungen. Die Mathematik des Jonglierens, bei der Bälle unterschiedliche Zeiträume in der Luft verweilen, teilt dieselbe Struktur wie das Zahlenproblem. Graham selbst merkte in einem Fernsehinterview aus dem Jahr 1980 an, dass viele Mathematiker und Informatiker Jonglieren mögen, und schlug vor, dass die Suche nach Mustern und Strukturen erklärt, warum.

Die Bedeutung

Grahams Vermutung stand 55 Jahre lang offen. Der Beweis schließt sie mit einer Methode, die Zufälligkeit als Stärke und nicht als Schwäche behandelt.

Der Beweis ist eine Erinnerung daran, dass manche Probleme der Chance weichen, wenn man weiß, wie man es betrachtet. Die vier Arbeiten und die dahinter stehende Zusammenarbeit zeigen, dass junge Mathematiker tiefe Fragen lösen können, indem sie neue Ideen mit alten kombinieren.

Der Beweis würdigt auch Grahams Vermächtnis. Er trug zwei Hüte, Jongleur und Mathematiker, und seine Frage verband die beiden Welten.

Sehen Sie das Video, um das die Geschichte aufgebaut ist, auf Quanta Magazine.