Un grupo de jóvenes matemáticos ha resuelto un acertijo de 55 años al tratar la aleatoriedad como una herramienta en lugar de un inconveniente. La prueba, extendida a lo largo de cuatro artículos, cerró la puerta a una pregunta planteada por primera vez por Ronald Graham en 1971. El artículo final, de Lisa Sauermann de la Universidad de Bonn y Huy Tuan Pham de la Universidad de Chicago, apareció en febrero de 2026.
La Pregunta de Graham
Graham era también un malabarista, además de matemático, casado con Fan Chung, matemática de la Universidad de California, San Diego. Le encantaban los trucos, dijo ella, incluyendo hacer girar una pelota, hacer girar un perchero y lanzar bolígrafos contra la pared.
En 1971, Graham planteó una pregunta sobre números dispuestos en un patrón circular, como las horas en un reloj. Comience con un conjunto de enteros diferentes, ninguno de ellos cero, y aranjelos de modo que la suma de los dos primeros números, luego de los tres primeros, luego de los cuatro primeros, y así sucesivamente, siempre produzca un total diferente. Si los números son todos positivos, la respuesta es obvia: las sumas siguen creciendo. Si los números incluyen tanto valores positivos como negativos, la respuesta también es conocida. ¿Pero qué ocurre si los números se repiten después de una cuenta fija, como las horas en un reloj?
Graham supuso que la respuesta aún debería ser sí. Pensó que incluso con límites estrictos, normalmente se podría encontrar suficiente espacio para construir una disposición especial —algo parecido a encontrar un tablero de sudoku o una tabla de cuadrados latinos funcionales a pesar de sus reglas. «Encaja bien en todas estas preguntas sobre diseños y sobre estructuras muy simétricas», dijo Noga Alon, matemático de la Universidad de Princeton. Durante décadas, nadie lo demostró correctamente.
El Heno de Müyesser
Alp Müyesser, matemático de la Universidad de Oxford, busca problemas que necesitan dos cosas: un proceso aleatorio y algo extra. En 2022, mientras aún era estudiante de posgrado, resolvió un problema de este tipo. Luego encontró la conjetura de Graham y vio que su prueba recién finalizada podría ayudar allí también.
La conjetura funciona en el mundo de la aritmética modular. Ubique los números enteros en una recta numérica, luego envuelva la línea alrededor de la esfera de un reloj de manera que los números se repitan después de algún número primo, p. Por ejemplo, si p es 7, entonces 0, 7, 14 y todas las demás múltiplos de 7 son lo mismo. Graham preguntó si siempre se puede reorganizar cualquier conjunto de números distintos a cero, para cualquier p, de modo que los totales acumulados sean todos diferentes.
Müyesser, junto con su antiguo asesor, Alexey Pokrovskiy de University College London, asumió el caso donde el conjunto incluye casi todos los números posibles hasta p. Con conjuntos tan grandes, construir un orden válido es extremadamente difícil. Pero comenzar con un orden aleatorio lo lleva la mayor parte del camino.
«Los científicos de la computación a menudo llaman esto un problema de ‘encontrar la aguja en el pajar'», dijo Müyesser.
Quizás sepa que existen muchos buenos órdenes, pero realmente encontrar uno es difícil. Un orden aleatorio probablemente funcionará, pero es difícil describir cómo debería ser la solución.
Müyesser y Pokrovskiy tuvieron que asegurarse de que ninguna secuencia de números en el orden sumara cero. De lo contrario, sumar esos números al total anterior lo repetiría. Un orden completamente aleatorio podría tener algunas de estas secuencias problemáticas. Entonces reservaron algunos números especialmente elegidos, mezclaron el resto al azar y exploraron el resultado en busca de problemas. Si encontraron un intervalo que sumaba cero, insertaron uno de los números de repuesto para solucionarlo. En 2022, publicaron su solución, aunque esta estuvo enterrada en un artículo centrado en un problema más general.
El tropiezo de Kravitz
Noah Kravitz de Oxford encontró la conjetura de Graham un par de años después, en un archivo en línea de problemas sin resolver. Vio una pregunta abierta y se sintió avergonzado de que la humanidad no conociera la respuesta.
«Vi que había un problema abierto, y pensé que era embarazoso para la humanidad que no lo supiéramos», dijo Kravitz.
Kravitz desconocía la solución de Müyesser y Pokrovskiy. Trabajó de forma independiente.
Cuatro Artículos, Una Respuesta
La prueba abarca cuatro artículos y se basa en varios campos de las matemáticas. El artículo final, de Sauermann y Pham, cerró oficialmente el problema.
Como señaló Alon, «es el poder de la colaboración, el poder de la generación joven, el poder de los métodos probabilísticos» lo que resolvió el problema.
Lo que demuestra la prueba
La prueba demuestra que el azar puede ser una estrategia productiva, no solo una forma de adivinar. Müyesser y Pokrovskiy comenzaron con un orden aleatorio y utilizaron un pequeño conjunto de números cuidadosamente elegidos para limpiarlo. Kravitz abordó el mismo problema desde un ángulo nuevo.
La solución también confirma la suposición original de Graham sobre la existencia de arreglos flexibles dentro de restricciones rígidas. La matemática del malabarismo, con pelotas permaneciendo en el aire por diferentes duraciones, comparte la misma estructura que el problema de los números. Graham mismo señaló en una entrevista televisiva de 1980 que muchos matemáticos e informáticos disfrutan del malabarismo, y sugirió que la búsqueda de patrones y estructura explica por qué.
La importancia
La conjetura de Graham permaneció abierta durante 55 años. La prueba la cierra con un método que trata el azar como una fortaleza en lugar de una debilidad.
La prueba es un recordatorio de que algunos problemas ceden al azar, si sabes cómo verlo. Los cuatro artículos, y la colaboración que hay detrás de ellos, demuestran que los jóvenes matemáticos pueden resolver preguntas profundas combinando ideas nuevas con las antiguas.
La prueba también honra el legado de Graham. Él usó dos sombreros, malabarista y matemático, y su pregunta unió los dos mundos.
Vea el video en el que se basa la historia en Quanta Magazine.
Recibe El Cuaderno.
Las mejores historias del día y cada veredicto nuevo, en español claro, en tu correo a las siete. Un correo al día, nada más.